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排序不等式证明
设a1<=a2<=…<=an
b1<=b2<=…<=bn
(这里没有规定ai,bi>0)
用数学归纳法证明：
n=2时a1b2+a2b1<=a1a2+b1b2<==>(a1-a2)(b1-b2)>=0成立
假设n=k时成立
n=k+1对于乱序和≤反序和
将与a1，b1有关的拿出来
有a1bl+b1at(乱序)
给出a1bl+b1at<=a1b1+atbl<==>(a1-at)(b1-bl)>=0成立
剩下k项满足假设。
对于反序和≤乱序和
将与a1，b(k+1)有关的拿出来
有a1bl+b(k+1)at(乱序)
给出a1bl+b(k+1)at>=a1b(k+1)+atbl<==>(a1-at)(b(k+1)-bl)<=0成立
剩下k项满足假设。
其实排序不等式主要应用的是如果a<=b;c<=d
&&&&&&&&&&&&&&&&(a-b)(c-d)>=0&&&&&&&&&&&&&&
希望对你有帮助！
排序不等式 a,b,c属于正实数。
排序不等式（sequence
inequality,又称排序原理）是高中数学竞赛大纲、新课标
普通高中课程标准试验教科书（人民教育出版社）数学（选修4-5
第三讲第三节）
要求的基本不等式。
设有两组数
a1
,
a2
,……
an;
b1
,
b2
,……
bn
满足
a1
≤
a2
≤……≤
an,
b1
≤
b2
≤……≤
bn
，其中c1,c2,……,cn是b1,b2,……，bn的任一排列，则有
a1*
bn
+
a2
*b{n-1}+
...
+
an
*b1
≤
a1
*c1
+
a2*
c2}
+……+
an
*cn}
≤
a1
*b1
+
a2
*b2
+
……+an*
bn.
当且仅当
a1
=
a2
=
...
=
an
或
b1
=
b2
=
...
=
bn
时等号成立，即反序和等于顺序和。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1
≤
a2
≤
a3
≤
...
≤
an，确定大小关系。
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为：
反序和≤乱序和≤同序和
.
排序不等式的证明：
逐步调整法。
当n=2时，不妨设a1
≤
a2，
b1
≤
b2，那么
a1*b1
+
a*2
b*2
-
(
a2*b1
+
a1*b2)
=
(
a1
-
a2
)(
b1
-
b2
)
≥0.
因此n=2时成立。
当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
不妨设a1
≤
a2
≤
...
≤
an，b1
≤
b2
≤
...
≤
bn。
A.
乱序和≤同序和
考察
a1
b{t_1}
+
a2
b{t_2}
+
...
+
an
b{t_n}。
如果t1=1，那么考察t2。如果ti=i，i=1,
...,
k，那么考察t{k+1}。
现不妨设第一个满足tk>k的项脚标为m，即a1
b1
+
a2
b2
+
...
+
am
b{tm}
+
...
+
an
b{tn}，tm>m。
并且找到含有b_m的项，设其为a_l
b_m，l>m。
于是，由于a_m
≤
a_l，b_{t_m}
≥
b_m，所以a_m
b_m
+
a_l
b_{t_m}
≥
a_m
b_{t_m}
+
a_l
b_m.
因此，这两项排成同序和后变大。
调整后的式子变为
a_1
b_1
+
a_2
b_2
+
...
+
a_m
b_{t_m}
+
...
+
a_n
b_{t_n}
≤a_1
b_1
+
a_2
b_2
+
...
+
a_m
b_m
+
...
+
a_n
b_{t_n}
因为这样的项是有限的，所以经过有限步调整后就得到同序和，从而证明了乱序和≤同序和。
B.
反序和≤乱序和
与A的证明完全相似，每步进行缩小后经有限步即可证明。
等号取到的充要条件是：a1=a2=……=an
or
b1=b2=……bn
请教不等式排序原理的证明
设有两组数a1,a2,……an,b1,b2,……bn满足a1≤a2≤……≤an,b1≤b2≤……≤bn则有a1bn+a2bn1+……+an≤a1bt+a2bt+……+anbt≤a1b1+a2b2+anbn式中t1,t2,……,tn是1,2,……,n的任意一个排列,当且仅当a1=a2=……=an或b1=b2=……=bn时成立。
以上排序不等式也可简记为:反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如,证明:其余不变时,将a1b1+a2b2调整为a1b2+a2b1,值变小,只需作差证明(a1-a2)*(b1-b2)≥0,这由题知成立。
依次类推,根据逐步调整法,排序不等式得证。
很多竞赛书上都有的,可以去找找。
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