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1、数学历史小故事：数学历史故事(数学史上有趣的小故事)
他自己也说过，“12岁的时候，我……经历了欧几里得的《平面几何小书》里的第二个奇迹……”对欧几里得着迷的不仅仅是爱因斯坦。大哲学家罗素在他的自传第一卷中也提到，1112岁的时候，他非常沮丧，甚至想过自杀，但是学习欧几里得几何的狂喜使他走出了这种境地。然后爱因斯坦说“1216岁的时候，我自学了数学的基础知识，包括微积分的基础……”这两件事说明他对数学有一定的兴趣、感悟和能力。他学好数学，甚至成为一名数学家是没有问题的。而且他在1896年10月进入瑞士苏黎世联邦技术大学后，更有可能在培养数学家的最佳环境中成为数学家，至少掌握最前沿的数学知识。爱因斯坦没有这样做，从某种意义上说，他错过了一个机会。
1900年前后，数学领域发生了重要的思想变革，其领导者是希尔伯特。希尔伯特的思想源头很大程度上是比他大3岁的胡尔维茨和比他小2岁的闵可夫斯基在哥廷根大学走了8年路积累起来的。爱因斯坦上学时，赫维茨是教授，明可夫斯基是副教授。他完全有机会亲自听取他们的口头和推心置腹的指导。那时，爱因斯坦只有四个同学。但是爱因斯坦对物理的兴趣远大于数学，而且由于他独立不羁的性格，经常逃课。用闵可夫斯基的话来形容他的表现再好不过了:“爱因斯坦在学生时代是一只懒狗。他根本不担心数学。”爱因斯坦的狭义相对论确实让闵可夫斯基大吃一惊，但真正意识到狭义相对论的价值，让哲学和数学向前迈进了一大步的是闵可夫斯基。用爱因斯坦的话说，是闵可夫斯基第一个把时间和空联系成四维时间空。另一个相关的发展是群的概念，这当然是爱因斯坦所不熟悉的。直到后来，爱因斯坦才意识到这种数学的价值。
如果说狭义相对论提出的时候爱因斯坦的知识面够了，那么爱因斯坦的广义相对论就短了。他不得不求助于他的同学格罗斯曼。从黎曼开始的黎曼几何和张量分析，似乎是为广义相对论定制的工具，而格罗斯曼恰好是这方面的专家。不可否认，爱因斯坦学这套数学很费劲。事实上，爱因斯坦的广义相对论极大地推动了黎曼几何的发展。另一方面，数学家按照自己的习惯推广广义相对论，以至于爱因斯坦曾经自嘲:“自从数学家开始了相对论的研究，我就再也不知道它了。”正是因为这个原因，1915年出现了希尔伯特和爱因斯坦的“优先权之争”。
爱因斯坦于1915年11月25日在柏林发表了他的场方程，希尔伯特早几天就推导出来了。然而，两者之间并不存在“争夺”。希尔伯特一直认为爱因斯坦是相对论的唯一创始人，也正是因为爱因斯坦的问题、理论和方法，才能在此基础上得到表象方程。希尔伯特显然非常擅长数学。他是从变分原理推导出来的。爱因斯坦是通过另一种方法得到的。在这个问题上，物理学的概念仍然是不可或缺的基础。统一场论是爱因斯坦的下一个目标，数学家们在这方面已经显示出了自己的优势。最早的尝试是由伟大的数学家怀尔斯提出的。他首先提出了规范不变性的问题。但是，爱因斯坦从物理概念上批判了怀尔德的理论。事实上，在非欧几何出现之后，数学家们已经跃入了自由的境界，不再被真实的物理世界所束缚，而只关心数学的逻辑完整性。统一场论至今仍在，但当时还无法理解另外两种相互作用:强相互作用和弱相互作用。爱因斯坦去世后，这两种相互作用和电磁相互作用形成了“大统一理论”，其中由怀勒开创的规范理论不可小觑。现在，试图包含重力的理论基本上是一个数学理论。20世纪末，讲给法官听，一对物理和数学离婚了一个多世纪，似乎又在谈再婚。然而，这些新数学似乎并不是爱因斯坦所乐于见到的。
广义相对论发展的另一个方向是宇宙学。毋庸置疑，爱因斯坦是现代宇宙学的奠基人，他的出发点仍然是求解场方程。但场方程只给出局部图像，很难拼出整体图像。在宇宙的形状或结构这个大问题上，人们的认识似乎可以追溯到哥伦布。哥伦布时代的第一个主要问题是拓扑学，即地球表面是一个球体，开放的还是封闭的。回顾过去的历史，我们知道在这个问题上主要有三种观点:地球圈说，地球层面说，还有一种其实无所谓。哥伦布迈出了正确的第一步。他相信元帝的理论。这一步确定之后，就可以进行第二步了。哥伦布的测量少了1/3，这个有意无意的错误让他获得了资助。在宇宙学中，我们又遇到了同样的问题:先是拓扑，然后是度规。这种差异，黎曼一开始就考虑清楚了。他区分了几何图形的度量和非度量性质，也明确了局部性质不同于全局性质。单纯依靠局部性质难以判断全局性质，需要另起炉灶研究全局拓扑性质，结果就是拓扑学。由于不熟悉高斯和黎曼的内禀几何，爱因斯坦采用了更原始的方法，即把四维时间空嵌入五维，这就产生了新的麻烦。也许这是爱因斯坦后期工作不太成功的另一个原因。
独立学者灵遁者整理并提供。
让我给你介绍一下相对论的知识。
爱因斯坦场方程的推理过程及场方程新解的解释
本来原标题打算是“爱因斯坦场方程里没有光”，后来改了。很多人看到这个标题可能会觉得奇怪。为什么他们说“爱因斯坦的场方程里没有光？”其实我想表达的是我们看待时间、宇宙、角度的方式。
例如，我在问，“如果爱因斯坦是盲人，他还能建立相对论吗？”他还会写场方程公式吗？"
在我的脑子里，好像没有一个盲人能成为科学家。百度也没找到这样的人。
我认为我们看到这个世界是因为它进入了我们的眼睛。如果我们只能失明，世界会变成什么样子？
比如像蝙蝠，视力很差，靠超声波定位来认识世界。爱因斯坦的场方程本身并没有“光”的概念，而是人类发明了“光”，光是一种电磁波，只是我们现在知道了。
光扩展了我们看待世界的尺度和客观性，所以“我们”很重要，因为我们看待世界。那么我们的意识就是一个无法回避的谜。
太多人说时间不存在，空之间的曲线不存在，上帝存在等等。
这是一个哲学问题，我不认为我的论证比Max的好。所以我还是坚持物质决定意识。意识对物质起作用。
所以虽然场方程里没有光，但是我们看世界的方式不仅仅是光。我们的理解是客观的。所有说这些东西在时间和空之间不存在的人，都不知道自己在宇宙中的存在。当你活着的时候，你与宇宙万物同步。
为什么宇宙不能用人造的“尺度”来衡量？为什么不靠谱？人本身就是宇宙的一员，所以不靠谱的人其实是在否定自己。
爱的场方程没有光，但人类看到了光，爱的场方程是可以依赖的。今天我们就来看看，想象一下，在艾尔的宇宙方程式中，有哪些值得思考的地方。
G _ uv称为爱因斯坦张量。
R _ UV是由Riemann张量凝聚而成的Ritchie张量，表示空之间的曲率项和弯曲度。
r是由Ritchie张量凝聚而成的标量曲率(或Ritchie数)。
G _ uv是来自(3 ^ 1)维空的度量张量；
T _ UV是能量-动量-应力张量，表示物质的分布和运动。
g是引力常数，
c是真空中的光速。
整个方程的意义是:物质在空之间的能量-动量(T_uv)分布=在空之间的弯曲态(R_uv)。
我们知道爱因斯坦广义相对论模型的核心内容是爱因斯坦场方程的解。在同时已知爱因斯坦场方程和一个附加方程(类似于麦克斯韦方程组和介质的本构方程)的前提下，爱因斯坦场方程的解包含一个确定的半黎曼流形和这个流形上的一个定义明确的物质场。
而空的几何必须满足爱因斯坦的场方程，所以尤其是物质的能动量张量的协变散度必须为零。当然，物质本身需要满足附加方程来描述其性质。所以爱因斯坦场方程的解可以简单理解为广义相对论约束下的宇宙模型，里面的物质也满足附加物理定律。
爱因斯坦场方程是一组二阶非线性偏微分方程，要得到它的精确解是非常困难的。尽管如此，仍然有相当数量的精确解，但其中只有一些有直接的物理应用。
其中，最著名的精确解，以及从物理角度来看最有趣的解有史瓦西解、雷斯勒-诺斯特姆解和克尔解，每一种解都对应一种特定类型的黑洞模型；以及弗里德曼-勒迈特-罗伯逊-沃克尔解和Desit宇宙，每个解都对应一个膨胀的宇宙模型。
理论上有趣的精确解还包括Godel宇宙(暗示了时间旅行在bending空)tau b-NUT解(一个均匀但各向异性的宇宙模型)和anti-Desit 空空间(最近几年因为超弦理论中的Marda Sina假说而变得有名)。
爱因斯坦场方程的精确解是不容易找到的，所以在更多的情况下，爱因斯坦场方程的解是对精确解进行数值积分或摄动得到的近似解。
在数值相对论的这个分支中，人们利用高性能计算机对时间空几何进行数值模拟，从而在两个黑洞碰撞等有趣的情况下数值求解爱因斯坦的场方程。原则上，只要计算机的计算能力足够强，数值相对论的方法就可以应用于任何系统，有可能解决裸奇点等基本问题。另一种获得近似解的方法是借助于摄动理论，例如线性化重力和后牛顿力学近似。这两种微扰法都是由爱因斯坦提出的，后者提供了一种当分布在空中的物体速度远低于光速时，求解空几何的系统方法。
后牛顿力学的近似方法是一系列展开项，第一项对应牛顿引力，后一项对应广义相对论对牛顿力学的修正。这种近似展开的一种扩展方法是参数化后牛顿形式，可以用来定量比较广义相对论及其替代理论的预测结果。
为什么爱尔场方程的解那么难解，而在解方程的时候，往往需要有特殊情况下的解。并且只有一小部分溶液可以直接应用。大部分是数学游戏。在我看来，最重要的是“非线性”二字。
即非线性使得场方程下的真实宇宙变得不规则、不光滑、不规则。
非线性是数值求解爱因斯坦场方程非常困难的根本原因。求解数值非线性偏微分方程是一个大问题。我的理解是，非线性系统的解对初始条件非常敏感。著名的例子是“蝴蝶效应”:当初始条件不能严格确定时，系统的长期演化是不可预测的。即使对于那些封闭的非线性系统，当初始条件存在偏差时，偏差通常也会随时间呈指数增长，导致初始条件的微小误差和结果的巨大误差。
正是非线性系统的共性和广义相对论的个性相结合，导致爱因斯坦场方程的数值求解成为一个极其困难的问题。目前爱因斯坦场方程的解大多是特解，即给定特殊条件的解不具有一般性。这个解的场描述了时间空的几何结构，而不是流体的密度、电磁场的强度等普通作用。在广义相对论中，不仅物质和能量的发展变化是统一的，而且物质能量和时间空的演化是一体的。
看场方程的时候会有自己的直观感受。我不是说不相信数学，只是有时候数学是表达宇宙的语言，但不等于宇宙的实际情况。
这就好比，我们说一个人好，只是用“好”这个词，我们并不知道他到底有多好。而看到他的人会说:“他收留流浪狗，他帮助穷人……”这是这个人“善”的具体表现。
宇宙是一样的。我们只是说“宇宙爆炸了”或者“宇宙膨胀了”，但我们并不知道它膨胀的确切原因。方程的很多解都是这么说的，但是我们还是有很多疑问。
我们来看看爱因斯坦场方程的已知解。
1.我们先来看看史瓦西解是什么:史瓦西度规，又称史瓦西几何和史瓦西解，是1915年卡尔·史瓦西对广义相对论核心方程——爱因斯坦场方程——关于球形物质分布的解。这个解对应的几何可以是球状行星外的time 空，也可以是静止不动不旋转不带电的黑洞(称为“史瓦西黑洞”)的time 空几何。任何被压缩成史瓦西度规的物体都会形成黑洞。
实际上史瓦西度规是真空场方程的解析解，也就是说它只能在引力源物体以外的地方成立。也就是说，对于半径为R的球面，解只在R中。
2、古代算数几何形体——阳马与鳖臑 | 第四届数学文化征文
本文为“2022年第四届数学文化征文活动
古代算数几何形体——阳马与鳖臑
作者:虞旻洋
作品编号：044
1．试题再现
（2015年湖北高考文科数学）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图1所示的阳马p-ABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE,BD,BE。
(I)证明：DE平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(II)记阳马P-ABCD的体积为，四面体EBCD的体积为，求的值．（解答略）
2．数学史料
《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵。斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。”
“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”，今称为刘徽原理。刘徽注《九章算术》关于体积问题的论述已经接触到现代体积理论的核心问题，指出四面体体积的解决是多面体体积理论的关键，而用有限分割和棋验法无法解决其体积。为了解决这个问题，他提出了一个重要原理：斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。
3．直观阐释
根据数学史料的阐述，可以分析得到“阳马”与“鳖臑”的具体图形。
取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵。
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个。以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马。余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑。
4．学习与感受
这个阳马与鳖臑的问题在学习立体几何的概念中在课堂上被数学老师提出，当时上课的时候，同学们都在感慨古人的智慧，所以也激发了同学们学习几何的热情。原来在同学眼里复杂的几何图形也能有如此有趣的历史背景，但当时是以例题形式被展现出来，对此感兴趣的我也上网去查阅了一下，在湖北省高考文科数学卷上，一道几何题中出现了“阳马”与“鳖臑”两个名词，我放在了试题再现。
在我们普遍印象中，数学在我们日常生活中的应用和我们所学的可能远远所不能及，我们经常在私底下会说:“学几何干啥呀？又难学日常也没用啊！”可就在我们对于几何模型抱怨不停的时候，阳马与鳖臑的古代数学几何模型打破了我们传统认知，古人也学这个！瞬间激起了同学们的好奇心。
相对于枯燥的数字与毫无生气的模型，有古典名称与背景的模型更受同学们的“欢迎”，也让我对数学以及数学史产生了浓厚的兴趣，再往后学习其他数学知识时，往往会去了解一下其发展史或历史小故事，在越来越多的接触中，我发现了数学不再让我过于恐惧，我对数学也有了一定的信心。
每个人在世界的范围内都近似于—个小小的点，但几个细微的点就可以扩充为—个几何体，增大数倍的体积与能量。无论你身处何方，都要手握—条条线，将自己与他人连成—个整体，立足于这个世界之中。“个人如果单靠自己，如果置身于集体之外，如果置身于团结民众的思想范围之外，就会—无所用。”高尔基这样告诉我们。我相信，小小的点掌握了几何体的位置关系，就可以拥有它的力量。世界是—个大的整体，就看你向哪里进发。
茫茫世界，人的一生好比一个坐标系。无论是点、面、线、体，都在其中。正如毕达哥拉斯所说：“数学统治着宇宙。”其实，那道道数学题中正蕴含着种种人生哲理。
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