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- 1、收敛半径怎么求(求收敛半径的几种方法)
- 2、老高说数学：一个简单的求和问题（3）
1、收敛半径怎么求(求收敛半径的几种方法)
今天，小编和大家分享两个问题。这两道题是一个学校期末考试的原题。让我们看一看，顺便练习一下。
第一题考查微分方程的通解。先看二阶非齐次线性微分方程，然后根据公式求解通解y = y y。其次，然后，根据公式，找到Y，最后得到答案。第二个问题，求收敛半径，直接上公式求极限就行了。找到收敛区域时，分别讨论端点并使用一些技巧。求和函数是一个难点。通常我们先取导数，再化简成好的形式，最后用牛顿莱布尼茨公式还原积分。2、老高说数学：一个简单的求和问题（3）
在今天的故事开始之前，建议大家先阅读我之前写的前三篇文章做铺垫，防止今天的知识点变得突兀和难以理解。
今天，我们继续来讲级数，话不多说，让我们看一个有趣的问题：
首先咱们说一下这个n带个感叹号是什么意思：
我们n带个感叹号称为n的阶乘，非常简单，咱们看一下上面这个运算就明白了。
当然这里还要个特例，大家要注意一下，它就是个人为定义的运算符号，没必要在意为什么。
我们的本能是想知道上面那个级数的得数是多少，然而级数复杂之处就在于：你应该先判断它是收敛还是发散的再算也不迟，否则极有可能无功而返。（想了解收敛和发散，建议大家先看我的第一篇文章）
于是，我们又要进行数学分析了：
我们把这个问题写得专业一下：
我们要研究一下更加广泛的幂级数形式，来研究它的收敛半径R是多少，这一就把上面这个问题从特殊情况转化成一般情况了：
拓展成幂级数，从特殊到一般
怎么求这个收敛半径呢,请出大数学家达朗贝尔来描述这个问题。
达朗贝尔
达朗贝尔说道，我有一个定理，能帮你求出收敛半径R：
达朗贝尔定理
于是，我们直接用上这个公式，进行计算：
我们把p倒过来，它就是收敛半径R：
这啥意思呢：这个幂级数收敛半径R无穷大啊，说明它处处收敛，我们令x=1，自然又回到了之前的那个等式，这就从一般又回到了特殊，也就是我们的实际情况：
上面啰嗦了一大堆，我们终于证明了上面这个级数是收敛的，它趋于一个定值。那么就简单了，老办法，我们直接上软件儿算：
我们发现，这个结果趋于1.71828182846......
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