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- 1、确定各类球的球心
- 2、正三棱锥的性质（正三棱锥外接球半径公式）
1、确定各类球的球心
球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查空间想象能力和逻辑思维能力．
“切”“接”问题的处理规律
（１）“切”的处理
解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
（２）“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
下面就近几年高考题对球与其他几何体的切接作深入的探究，从而使学生掌握高考命题的趋势和高考的出题思路．
１．由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
④正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；
⑤若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
２．构造长方体或正方体确定球心
①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；
③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；
④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体.
３．由球的性质确定球心
本题运用公式 Ｒ ^２＝ｒ^２＋ｄ^２ （ｒ 为三棱锥底面外接圆的半径，Ｒ 为三棱锥外接球的半径，ｄ 为球心到三棱锥底面中心的距离）求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．
2、正三棱锥的性质（正三棱锥外接球半径公式）
正三棱锥的性质(正三棱锥外接球半径公式)
:科普中国
出品:“知识就是力量”微平台朱广思
人:计算机信息中心
粽子是端午节必不可少的传统食物。中国粽子不仅馅料丰富，形状多样，如竹筒、长方形、圆锥、金字塔、三角形等。，但最常见的是“四边形粽子”，也就是四面体粽子。接下来我们从几何的角度来分析粽子里面的门道。
四面体在现实生活中不是很常见。光听它的名字很难想象它的形状。其实它还有一个更容易被接受的名字——三棱锥。所有的三角金字塔都有六个边，四个角和四个面，每个面都是三角形，每个三角形面与一个角相对，底面是正三角形，另外三个面相等(必须是等腰三角形)，称为正三角金字塔。如果底面完全等于其他三个面，那么四个面都必须是正三角形，那么这就叫做正四面体。
把粽子做成正四面体有什么好处？
由长方体和正方体表示的平行六面体实际上可以通过切掉一个角来形成四面体。但是为什么大多数人把粽子做成奇怪的四面体而不是长方体呢？首先，与平行六面体的不稳定性不同(比如立方体框架可以左右摇摆)，四面体本质上是非常稳定的，只要确定六边的长度，就可以拼出一个唯一的四面体。所以四面体粽子不太容易变形。
四角形粽子虽然不一定是正四面体，但它的四边通常是相同的等腰三角形。当这个四面体的表面积被拆解后，可以得到两个相等的钻石，这意味着可以用两个相似的细长叶片来包裹它，从而充分利用它。
正四面体的另一个特点是它有四个三重旋转对称轴和六个对称面，每两个相对的边相互垂直。这说明不管盘子怎么放在容器里，粽子看起来都是整齐的侧卧，不会给人侧卧的感觉。
正三棱锥也有一个重心，这也是它的外切球和内接球的中心。在顶点的重心和底面之间的直线(高度)上，高度分为3: 1，即离地四分之一。所以，如果用牙签或筷子把粽子捆起来，正确找到这一点，就能地保证受力均匀，不易掉落或折断。
图片:image.so.com
正四面体的体积——渡越时间与空考证
从外观上，不容易看出粽子的体积。虽然四面体的体积和圆锥体一样，是底部面积的三分之一乘以高度，但用尺子测量底部面积和高度并不容易。
阿基米德的排水法当然可以帮助快速测量体积，但是要准备的量杯并不是很常见，粽子湿了之后剥皮似乎更麻烦。这时，使用了一个特殊的公式。只要知道六边的长度，就可以知道四面体的体积。
这个公式叫做海伦-秦公式。由古希腊和古代中国两位数学家发现。个发现者是海伦二世，也被翻译成海龙、海隆、希罗等。她是古希腊西西里岛(今意大利)上的锡拉丘兹(又名锡拉丘兹)城邦的国王，也是数学家、测量员和机械工程师。他在《计量学》一书中，提到了计算三边三角形面积的公式。这本书曾经丢失，直到1896年，它的手稿在君士坦丁堡被发现，并于1903年出版。但五年后的1908年，有人提出这个公式其实是阿基米德发现的，而且只是海伦国王的名字，但一直没有得到证实。
图片:image.so.com
但是海伦-秦九韶的公式都是用来计算面积的，计算体积还需要进一步的处理。但是，在计算底部面积后，计算高度并不难。假设六条边分别为A、B、C、D、E、F，经过推演，我们最终可以得到如下公式:
一个小小的四面体粽子，里面有那么多几何知识。喜欢数学的朋友不妨多观察观察，会有更多有趣的发现。
(文中注明来源的图片已获授权)
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