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1、这道美国高考数学题，30万人只有3个人做对，连出题人都做错了
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导读
距离高考还有30天，今天给大家来一道提神醒脑的美国高考送命题。
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距离高考还有30天，今天给大家来一道提神醒脑的美国高考送命题。
1982年5月1日的美国高考数学卷有这样的一道题——
咱们先审题，这道题是说，小圆的半径只有大圆的三分之一；如果小圆绕着大圆滚回原位，那么它转了多少圈？
备选项有5个，这个不用翻译大家也能看懂。
先不说答案，你会选什么？
相信很多人会选 B，这道车祸现场题的出题人也是这么考虑的。
如果把大圆圆周拉直，那么它的长度应该是小圆圆周的3倍，所以小圆绕着它会滚3圈对吗？
并不。
不信的话，我们动手实操一下。
大家看，小圆绕了大圆四分之一的时候，已经转了一圈了——
绕大圆一整圈的话，实际上小圆转了4圈。所以正确答案是4，并不在任何一个选项里。
根据出卷方美国大学理事会（College Board）的事后声明，这场美国高考出卷方的答案是错的，而在当时参与这场考试的30万考生里，只有3个考生给出了正确答案。
最后，明明是美国大学理事会做错了，除了那三人，所有人的分数都被扣回去了。
纽约时报1982年5月25日对这次高考数学题出错事件的报道（白框）
30万人里只有3人做对，其实是因为这个现象太不可思议了，因此它在数学上也得到了赐名——硬币悖论（coin paradox）。
如果是用两个半径一模一样的圆来玩的话，我们发现，其中一个绕另一个公转了半圈的时候，实际上它已经自转了360度了。如果绕另一个圆公转一整周，那么它自转了720度，也就是2圈。
这种题有没有套路解法呢？其实是有的，答案就是：公转的圆的圆心画出的圆的半径和这个圆的半径之比。在下图里，就是绿色的这个圆的半径和小圆的半径之比。
以1982年那道高考题为例，公转的圆心的轨迹是个圆，而且它的半径是小圆的4倍，所以是转4周。
如果两个圆直径一样，公转的圆心绕过的圆形轨迹的半径是它的2倍，所以是转2圈。
所以硬币悖论到底是怎么产生的呢？
大家来画重点了，硬币悖论的本质，在于公转的圆的每一个点画出的路径并不是圆形，而是腰子的形状——肾形线。
肾形线（红色）
如果两个圆半径相等，那么轨迹就是另外的器官——心脏线。孔子曰过，根据看问题的角度，这种线也可以看成屁股线。
心脏线（蓝色）
其实，解硬币悖论的思路也可以用来解答亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒了许多人的悖论。
在《论力学》（Mechanica）这本书中，问题很多的亚里士多德给大家出了这样一个问题：
一个半径为 R 轮子在地上滚一周，在没有发生滑动摩擦的情况下，轮子上每一个点行走的距离都是 2πR 对吧？
这个轮子可以看作是很多小轮子一个一个套娃套出来的。小轮子相对大轮子也没有发生滑动摩擦，大轮子滚一周，小轮子也滚一周。可是，小轮子的半径 r 明明比大轮子小啊，为什么小轮子上任意一点的行走距离也是 2πR 呢？
这个悖论也被称为亚里士多德饭桶圆桶悖论（Aristotles wheel paradox）。两千年来，这道题成了众多世界驰名理科生的送命题。
比如，伽利略的解法是，如果把圆形轮子看作是有很多个边的多边形构成的，那么小轮子在滚的时候，跳过了一些空隙...总之伽利略的意思是这样的——
多边形在滚动的时候，中间的小多边形上的任意一点是跳着前进的，并没有走完大多边形的全程。伽利略由此推论，圆形也是相同的情况。
这道题使他深信，如此一来，轮子就是用带有无穷多孔隙的材料制成的，因此物质必然是用很小的颗粒，也就是原子构成的。
等等教练，原子论还可以这样推？（大叔“嗯”音效）
但是利用做美国高考那道题的思路，我们就能越过伽利略的无穷脑“洞”，得到这个悖论的解法了。
实际上，和直觉不一样，大圆上的每一个点行走的路径长度并不是2πR，而是大于2πR，画出来是这样的线条，头秃吧。
这个线叫做摆线。
同理，小圆上的每一点画出来的轨迹也不是直线，也是摆线，只不过小圆的摆线长度比大圆的摆线要短，因为圆滚一周，摆线长度是半径的8倍。
亚里士多德的这个悖论还可以得出集合论中的一个推论：不管2段线段各自有多长，它们所拥有的点的数量都是一样的；任何一个线段上的任何一点，都可以在另一个线段上找到对应物。
这个推论放到整数里也是成立的：所有偶数的数量等于所有整数的数量。
话说回来，其实在生活中屁股线还挺常见的。
相信你见过圆形杯子里液面的这种柯基臀部形状的反射光斑吧——
圆锥形杯子里液面的心脏线
它就是屁股线的形状。这是因为，当入射光和圆锥斜边，也就是杯壁平行时，圆锥的回光线（一束光射到曲面上，反射回来的线条）就是屁股线。
在液面，入射光在锥形杯壁的反射光可被看作点光源，它会形成新心脏线形状的回光线。
屁股线还有和日常生活中一个大家熟悉，但始终不明白原理的现象有关。
歌手们飙高音的时候，为什么要把麦拿远呢？
其实，这是因为大多数的麦，也就是风靡了50年的SM58麦接收声音的范围是屁股线勾勒出的屁股形状的——
大多数麦克风是心型指向的，也就是说只有在心形区域的声音，才能得到有效接收。
这种麦也叫心型指向的，它可以有效屏蔽麦克风后面的声音，比如观众声浪的声音。所以歌手们要让粉丝合唱的时候，就必须把麦对准观众。
心型指向的麦克风可以有效屏蔽麦克风后面的声音
心型指向的麦克风还有一个特点，那就是拿太近时会产生近接效应（proximity effect）——低音会放大。反之，拿远的时候，低音炮就被弱化了。所以在飙高音的时候，为了突出高音部分，KTV歌手们就会把麦拿远。
我们来看一下这个大哥的实地演示——
近接效应：心型指向的麦克风靠近声源时，低音部会被放大，反之减弱。
全向式麦克风，也就是可以接受以麦克风为中心的球内的声音的那种就没有这种现象。
懂了，学好数学，喝个奶茶唱个K都是腚记你的形状。
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2、美国高考数学题（大家热议的美国数学高考题）
美国高考数学题（大家热议的美国数学高考题）
之前曾把下面这道美国数学高考题发到今日头条，没想到竟然获得了25万展现和858条留言。前几天我在指出《隐秘的角落》里关于张东升所画的错误心形线的文章里，也谈到了这个问题，结果同样引起了不少人的讨论。现在，该是给这个问题一个交代的时候了。
问题是这样的：
小圆的半径是大圆的1/3，大圆固定不动，小圆绕大圆滚一圈回到原位，请问小圆自己转了几圈？
这个问题的正确答案为4圈。为什么30万人只有3人答对了，原因就在于正确答案并未出现在选项中。出题人着实把大家坑了一把。事实上，这个问题也被称为“硬币悖论”， 也就是结果与人们的直觉认知相悖。
对于这一问题，许多人认为答案就应该是3圈，因为大圆周长就是小圆的3倍。给出4圈这一正确答案的，其解释也是五花八门，下面我对一些主要的答案逐一解释。
1. 自转公转论
小圆自转3圈，绕着大圆公转1圈，一共转了4圈。
这一答案堪称欺骗性解答。听上去似乎很有道理，4圈的答案也对，还能傍上地球自转和公转的理论。呃，大家都这么说，那我也假装自己懂了吧。回答4圈的人中估摸有一多半人是这么想的，其实根本没有深入去思考。
真的是这样吗？我们再来看看这个问题问的是什么？
题目问的是小圆自己转了多少圈，就是小圆绕着自己的中心转了几圈，这就是自转的概念。如果说自转3圈，那答案就应该是3圈才对。公转讲的是小圆绕着大圆的中心转，跟自转无关。实际上，小圆即便不自转，也可以绕着大圆的中心公转一圈。在这个问题里，小圆确实绕大圆公转了1圈，但这跟小圆自转几圈没有关系。因为，小圆自转就有4圈。也就是说，小圆自转了4圈，公转了1圈。
2. 圆心轨迹法
小圆的圆心运动轨迹也是个圆，其半径为4r，所以走过的长度为8r。小圆每自转一圈圆心走过2r，因此转了4圈。
如果是小圆在平地上滚，确实每走过2r就是绕着圆心转一圈。
但到绕着大圆滚这个问题里，首先得证明圆心走过2r的长度，小圆绕着圆心转了360这个结论。即如下图所示，小圆圆心走过2r的距离，恰好走过小圆圆心所在圆周长的1/4，为什么此时小圆正好绕着自己的圆心转了一圈？没有证明过程，直接拿平地的结论搬过来是不严谨的。
还有人说小圆上每个点走过的长度等于小圆圆心走的长度，所以如此。这个结论就不对了，后面再讲。
3. 质点法
质点法类似于圆心轨迹法。即把小圆看成一个质点，从而小圆的运动轨迹是一个半径为4r的圆，质点一共走了8r的长度，每走2r的长度绕圆心转一圈，所以转了4圈。这个首先得理解什么是质点，其次，与圆心轨迹法一样，也需要证明一个之前的那个小结论才行。
4. 相对运动法
小圆和大圆如果各自固定圆心，类似于齿轮一样同时转动，那么小圆顺时针转3圈，大圆逆时针转1圈，小圆相对于大圆转了4圈。现在大圆固定不动，小圆需要相对于大圆转4圈才行。这个解释是可以的，但相对运动对于大部分人（特别是孩子）而言，还是太过于抽象了。
那么，有没有一种比较直观的解释呢？我下面给出的是纯粹从数学几何关系来解释的，学过角度和圆周长的小学高年级学生应该都能理解。
5. 纯几何
这个问题里有一点是确定的，即小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚过2r的长度即1/3大圆的周长，滚到了如下图所示的位置，此时小圆绕着自己的圆心转了360+120=480。小圆贴着大圆滚6r的长度正好滚回原点，此时转了4803=1440。1440360=4圈。
6. 心形线的长度
刚才提到，在第二种中，有人认为小圆上任何一点走过的长度与圆心走过的长度是一样的，真的是这样吗？
不妨再看一下类似的但更简单一点的心形线，也就是两个圆的半径一样时的情况。在之前《隐藏在《隐秘的角落》里的错误心形线》这篇文章中，给出了心形线的极坐标方程表示。
此时，由极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以求得心形线的长度为16a（具体计算过程如下），而小圆圆心走的轨迹是一个半径为2a的圆，因此走的长度为4a。也就是说，在这种滚动的问题里，圆心走过的长度和圆上任意一点走过的长度是不一样的。
如果你有幼儿园到初中的学龄娃，想加入数学讨论群的，可以留言并告知年级。
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