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- 1、已知圆弧的弦长为5米，拱高为1米，求弧长
- 2、arcsinx等于什么？
1、已知圆弧的弦长为5米，拱高为1米，求弧长
本文主要内容：介绍圆弧的弦长A=5米，拱高H=1米的弦长求法。
第一步，解析弧长表达式
根据题意，有直角三角形关系如下：
R^2=(R-b)^2+(a/2)^2解得：
R=(a^2+4*b^2)/8b，设弧长为L,由公式得：
L=2θR=θ(a^2+4*b^2)/4b.
∵sinθ=(A/2)/R=4ab/(a^2+4*b^2)
∴θ=arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)].
即弧长计算表达式为：
L=(a^2+4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]。
第二步，泰勒展开计算结果
1.泰勒公式定义展开计算
(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2),则(arcsin0)´=1；
(arcsinx)´´=-(1/2)*(1-x^2)^(-3/2)*(-2x)=x(1-x^2)^(-3/2);
(arcsinx)´´´=(1-x^2)^(-3/2)+x[(1-x^2)^(-3/2)]´；
则：(arcsin0)´´=0，(arcsin0)´´´=1.
即arcsinx≈x+0+(1/3!)x^3=x+x^3/6=x(x^2+6)/6.此时
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]
≈4ab[8a^2b^2+3(a^2+4b^2)^2]/[3(a^2+4b^2)^3].
代入弧长计算表达式得：
L≈a[8a^2b^2+3(a^2+4b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^2]
即：
L≈a+[(8/3)a(ab)^2/(a^2+4*b^2)^2].
代入数值计算，得：
L≈5+[(8/3)*5*5^2/(5^2+4*1^2)^2]
L≈5.4。
2.泰勒变形公式展开计算
∵(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2)
≈1+(-1/2)*(-x^2)+(-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2
≈1+(1/2)x^2+(3/4)x^4
∴arcsinx=∫(1-x^2)^(-1/2)dx
≈x+(1/6)x^3+(3/20)x^5.对本题有：
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈[4ab/(a^2+4*b^2)]+
(1/6)[4ab/(a^2+4*b^2)]^3+(3/20)[4ab/(a^2+4*b^2)]^5.
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]
≈4ab*{15(a^2+4b^2)^4+40[(ab(a^+4b^2)]^2
+576(ab)^4}/[15(a^2+4b^2)^5]。代入到弧长表达式得：
L≈a*{15(a^2+4b^2)^4+40[(ab(a^+4b^2)]^2
+576(ab)^4}/[15(a^2+4b^2)^4]。即：
L≈a+8a*(ab)^2[5(a^2+4b^2)^2+72(ab)^2]/[15(a^2+4b^2)^4].
代入数值计算，得：L≈
5+40*5^2[5(5^2+4*1^2)^2+72*5^2]/[15*(5^2+4*1^2)^4]，
即:L≈5.57。
结语：
可见两种计算方法，都是弦长增量计算法，都存在一定的误差。
2、arcsinx等于什么？
arc sinx =/2-arc cosx(-1≤x≤1).arcsin0=0，arcsin1=90 .Sinx代表一个数字，其中x是一个角度。Arcsinx代表一个角度，其中x是一个数字。
Sinx代表一个数字，其中x是一个角度。Arcsinx代表一个角度，其中x是一个数字，arcsinx= /2-arccosx(-1≦x≦1)。arcsin0=0，arcsin1=90 .反正弦表示的角度是指正弦值为X的角度..Arcsinx是sinx的反函数。如果sinx=y，那么arcsiny=x因为sin是周期函数，为了使函数具有唯一的值，arcsinx的取值范围在(-90，90]度之间。Arcsin0=0，arcsin1=90度。
把sinX看做数字，把arcsinX看做角度，这样更容易记忆。sinX和arcsinX的关系是函数和反函数的问题。例如，sinX=Y，然后arcsinY=X(请记住，在这两个公式中，X表示角度，Y表示数字，范围从-1到+1)。因此，arcsin0代表正弦值为0的角度，即2kT(k为整数)，arcsin1代表正弦值为1的角度，即2kT+1/2T。而反正弦2不存在，因为在任何角度都不可能取2为正弦值。
反正弦
在数学中，反三角函数，偶尔也叫弓函数、反函数或环函数是三角函数的反函数(有适当的限制域)。具体来说，它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和辅助函数的反函数，用于从任意角度的三角比中获得一个角度。反三角函数广泛应用于工程、导航、物理和几何等领域。
反正弦函数(反三角函数之一)是正弦函数y=sinx (x [-长T，长T])的反函数，表示为y =反正弦或siny=x (x [-1，1])。由原函数像及其反函数像关于三象限角平分线的对称性可知，正弦函数像和反正弦函数像也关于三象限角平分线对称。
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