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- 1、优弧是什么
- 2、超级经典，圆中阿基米德折弦定理六种证明方法及其练习
1、优弧是什么
大于半圆的弧叫做优弧，表示一个优弧时用三个字母来表示。与优弧相对的是劣弧，即小于半圆的弧。同弧或等弧所对圆周角相等。半圆既不是优弧也不是劣弧，而是与其并列的一个概念。
在同圆或等圆内，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等；所对的弦相等；所对弦上的弦心距相等(逆命题也成立)。在同圆或等圆内，如果圆心角不等，那么圆心角大的所对的弧大；所对的弦大；所对弦上的弦心距小(逆命题也成立)。
2、超级经典，圆中阿基米德折弦定理六种证明方法及其练习
阿基米德(Archimedes，公元前287~公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一。他与牛顿、高斯并称为三大数学家。
定理定义
如右图所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。
定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
验证推导
方法1：补短法1
如图，延长DB至F，使BF=BA
∵M是弧ABC的中点
如图，延长DB至F，使BF=BA
∴∠MCA=∠MAC=∠MBC
∵MBAC四点共圆
∴∠MCA+∠MBA=180°
∵∠MBC+∠MBF=180°
∴∠MBA=∠MBF
∵MB=MB,BF=BA
∴△MBF≌△MBA
∴∠F=∠MAB=∠MCB
∴MF=MC
∵MD⊥CF
∴CD=DF=DB+BF=AB+BD
方法2：补短法2
延长AB到E，使BE=BD
∵M是弧AB中点，
∴∠MBC=∠MAC=∠MCA
∵M,B,A,C四点共圆
∴∠MCA+∠MBA=180°
∵∠MBE+∠MBA=180°
∴∠MCA=∠MBE
∴∠MBC=∠MBE
∵BE=BD,MB=MB
∴△EBM≅△DBM
∴∠E=∠MDC=90°,ME=MD
又∵MA=MC
∴△MEA≅△MDC
∴DC=AE=AB+BE=AB+BD
方法3:截长法1
如图，在CD上截取DG=DB
∵MD⊥BG
∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC
∵M是弧ABC的中点
∴∠MAC=∠MCA=∠MGB
即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA
又∠MGB=∠MCB+∠GMC
∴∠BMA=∠GMC
∵MA=MC
∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴AB=GC
∴CD=CG+GD=AB+BD
方法4:截长法2
如图，在CD上截取CG=AB
∵M是弧ABC的中点
∴MA=MC
∵∠BAM=∠BCM
∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴MB=MG
∵MD⊥BG
∴BD=DG
∴CD=CG+GD=AB+BD
方法5:垂线法
如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。
∵M是弧ABC的中点
∴MA=MC
∵MD⊥BC
∴∠MDC=90°=∠H
∵∠MAB=∠MCB
∴△MHA≌△MDC(AAS)
∴AH=CD，MH=MD
又∵MB=MB
∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)
∴HB=BD
∴CD=AH=AB+BH=AB+BD
方法6：圆周角法
延长MD交圆O于E,连接EC,EA,
延长EA交CB延长线于F.
∵M为AMC中点
∴∠1=∠2
∵ MD⊥BC
∴∠EDF=∠EDC=90°,
∵ED=ED
∴△EDF≅△EDC
∴∠C=∠F,DF=DC
∵A.B,C,E 四点共圆
∴∠C+∠BAE=180°.
而∠3+∠BAE=180°
∴∠C=∠3
∴∠F=∠3
∴BF=AB
∴CD=FD=BF+BD=AB+BD
典例1☆☆☆☆☆
如图，已知点A，B，C，D顺次在圆O上，AB=BD，BM⊥AC，垂为 M.
证明∶AM＝DC＋CM.
1.（★★☆☆☆）如图，已知点 A，B，C，D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为 M.若 AM＝5，CM＝1，则 CD＝_______.
2.如图，已知△ABC中，D为AC上一点，且AD=DC+CB，过点D作AC的垂线交外接圆于点M.求证：M是优弧AB的中点．
3.如图，△ABC内接于⊙O，BC=2，AB=AC，点D为弧AC上的动点，
且cos∠ABC=
（1）求 AB 的长度.（2）求 AD· AE 的值.
（3）过A点作 AH⊥BD，求证∶BH=CD＋DH.
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