齐次和非齐次的区别，齐次线性和非齐次的区别（考研线性代数——线性方程组）

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• 1、齐次和非齐次的区别：齐次线性和非齐次的区别
• 2、考研线性代数——线性方程组

1、齐次和非齐次的区别：齐次线性和非齐次的区别

齐次线性和非齐次的区别：

1、常数项不同：

齐次线性方程组的常数项全部为零，非齐次方程组的常数项不全为零。

2、表达式不同：

齐次线性方程组表达式：Ax=0；非齐次方程组程度常数项不全为零：Ax=b。

在一个线性代数方程中，如果其常数项(即不含有未知数的项)为零，就称为齐次线性方程。

线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。因为在笛卡尔坐标系上每一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。

2、考研线性代数——线性方程组

（tip：本文适用于梳理知识体系）

线性方程组包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组。当方程组中方程的个数与未知数的个数相等且系数矩阵满秩时可以考虑克拉默法则，但当系数矩阵为降秩矩阵时，使用克拉默法则无法确定方程组的解（对齐次线性方程组来说，只知道其有非零解，但不能确定解的具体形式；对非齐次线性方程组来说，有无解都无法确定）.当方程组中方程的个数与未知数的个数不相等时，则一定不能使用克拉默法则，所以解方程组的主要方法为高斯消元法。

对齐次线性方程组AX＝0，当r(A)＝n（与未知数个数相等）时，方程组只有零解；当r(A)＝r＜n时，方程组AX＝0有无穷多个解，此时找出一组与其全体解向量构成的解空间等价的线性无关的解向量组（称为基础解系），则方程组AX＝0的通解为其基础解系的线性组合。

对非齐次线性方程组AX＝b，当r()≠r()时，方程组AX＝b无解；当r()＝r()时，方程组AX＝b一定有解。进一步分为r()＝r()＝n与r()＝r()＜n两种情况讨论其具体解的情况。

齐次线性方程组求基础解系在特征值与特征向量、矩阵的对角化、二次型的标准形中有非常重要的应用。

一、线性方程组的基本概念与表达形式

1.掌握n元齐次线性方程组的矩阵形式、向量形式

2.掌握n元非齐次线性方程组的矩阵形式、向量形式

3.掌握线性方程组的两个基本定理及推论

二、线性方程组解的结构

三、线性方程组的通解

1.掌握齐次线性方程组AX=0的基础解系与通解

2.掌握非齐次线性方程组AX=b的基础解系与通解

四、方程组解的理论延伸

1.设A是m x n矩阵，B是n x s矩阵，若AB=O，则B的列向量组为方程组AX=0的解。

2.设方程组AX=0的解为BX=0的解，则r(A)r(B)。

3.设方程组AX=0与BX=0为同解方程组，则r(A)=r(B)，反之不对。

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