1的无穷型极限公式，极限运动有哪些（求极限的11种方法大集合）

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1、考研数学不丢分：求极限的11种方法大集合

考研数学中求极限一直是历年考研的难点和常考内容，每当题型发生变化时，很多同学都会显得力不从心。文都教育小编在这里为各位考生整理了求极限的11个方法，希望大家遇到极限的问题时，能不再苦恼。

为什么第一章求极限如此重要？因为后续各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先对极限的总结如下，极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。

1、极限分为一般极限，还有个数列极限

区别在于数列极限是发散的，是一般极限的一种。

2、解决极限的方法如下

（1）等价无穷小的转化(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

（2）洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)首先它的使用有严格的使用前提，必须是X趋近而不是N趋近(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷)。必须是函数的导数要存在(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)。必须是0比0，无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。

3、泰勒公式

(含有e^x的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意)e^x展开，sinx展开，cos展开，ln(1+x)展开对题目简化有很好帮助。

4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母，看上去复杂处理很简单。

5、无穷小与有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。

6、夹逼定理

(主要对付的是数列极限)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7、等比等差数列公式应用

对付数列极限，q绝对值符号要小于1。

8、各项的拆分相加

来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限，可以使用待定系数法来拆分化简函数。

9、求左右求极限的方式

(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，Xn的极限与Xn+1的极限是一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化。

10、两个重要极限的应用

这两个很重要！对第一个而言是x趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第二个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1的时候要特别注意可能是用第二个重要极限)

11、直接使用求导数的定义来求极限

一般都是x趋近于0时候，在分子上f(x)加减某个值，加减f(x)的形式，看见了要特别注意，当题目中告诉你F(0)=0时，f(0)的导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义!不论极限怎么变，掌握了解题思路，就有了定式，希望同学们能够顺利解决极限难题。

2、1的无穷型极限公式：极限

新考研大纲如约而至。对大家而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习

上。考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的

复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未

必完全把握。所以，借助此次与大家交流的机会，在此梳理了高等数学中的重难点，以

期给正在全力攀登的考生搭一把手。

专题一极限

考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。

1.四则运算

此法可简要概括为"若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的极限

存在，则和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，乘积的极限等于极限的乘积，商

的极限等于极限的商(分母不为零)"。

而在实际做题过程中，我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在，而是只观察出一

部分的极限存在，这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊的加，

除看成特殊的乘)两种运算讨论：两个函数相加，取极限，若能观察出一项的极限存在，若另

一项的极限存在，则由四则运算法则，和的极限等于极限的和，可以往下算;若另一项的极限

不存在，可以证明(用反证法)整个极限不存在，也即"收敛+发散=发散"，而这种情况在真题

中的极限计算题中还未出现过。综上，两个函数相加取极限，只要一项极限存在，就可以放

心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个极限不存在即可。下

面讨论乘的情况，两个函数相乘取极限，若一个函数的极限存在，那得追问一句：极限值是

否为0?若为0，则不能把该函数的极限算出(因为可能出现"0乘无穷"这种未定式);若极限值不

为0，则后面的讨论类似于加的情况。

2.洛必达法则

洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必

达念念不忘，可谓情有独钟。到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。洛必达法则有三

个条件：1)0分之0或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，

则"局部"为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体函数仅判断第

1)条一般不会出问题，因为第2)、3)条在多数情况下成立。但对抽象函数的极限问题要小心，

可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。此外，泰勒公式以强大著称，但有一种

情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含有变限积分的极限。一

般得借助洛必达法则削去积分号。

3.等价无穷小替换

这种方法大家都比较熟悉。首先要记住常见的等价无穷小替换公式。接下来就是广义化

的思想方法(如x趋于0时，sinx等价于x，那么x的位置换成趋近于0的函数行不行?行!这就是广

义化的思想)。再者，等价无穷小替换常在洛必达法则之前用，这样可以简化洛必达法则中的

求导运算。注意，易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。

4.泰勒公式

泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称"一把泰勒走天下，洛必达之类

都是浮云"。确有几分道理。该公式有两种形式：带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公

式。前者用来算极限，后者用来证明。

算极限首先应记清8个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,

ln(1+x),(1+x)^a在0点展开的泰勒公式)，接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒公

式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式，即题目中出现高

阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。

5.幂指型函数的处理

幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我们

求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招：指数对数恒等式转化。

6.夹逼定理

首先要熟悉该定理的内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之间

(并不要求对所有的n成立，对充分大的n成立即可)，且在n趋于无穷时，两头的数列收敛到同

一个数，则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹逼定理类似

理解。

接着应熟悉一个结论：无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用其解

题。

最后，一种长得非常有型的极限计算题--n项分母互不相同的分式的和的极限，可考虑夹

逼定理，也可能考虑定积分定义。限于篇幅，本文在此点到为止，不详述。

7.单调有界定理

该定理内容并不难：单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极

限。此处需注意，不是严格的单调也可以。

该定理数一数二同学尤其要注意，因为真题在此处考过多次大题。该定理的一种比较典

型的应用场合是递推式数列的极限问题。一般情况下，证明数列的极限存在就可考虑该定

理。

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