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关于【数学归纳法步骤】:数学归纳法步骤，今天小编给您分享一下，如果对您有所帮助别忘了关注本站哦。
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- 1、数学归纳法步骤
- 2、猜证结合思想之“数学归纳法”在高中数学解题中的应用
1、数学归纳法步骤
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
1、证明当n= 1时命题成立；
2、假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
解题要点：
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中：
1、验证n取第一个自然数时成立
2、假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到荒谬证明。
2、猜证结合思想之“数学归纳法”在高中数学解题中的应用
一、猜证结合思想概述
解题的核心是逻辑推理，因此我们要着力研究：怎样进行逻辑推理。
在数学上“逻辑”通常是指“思维的规律”，它不仅包括形式逻辑推理，而且包括辩证逻辑推理以及各种非形式化的逻辑推理，如形象思维、直觉思维等等。因此我们要尽力引入运动和辩证的方法，全面而深刻的学会推理。
解题是人类特别富有的智力活动，它必须遵循人类认识运动的规律。
人的基本认识过程有两个：一是由特殊到一般；一是由一般到特殊。我们按照这两个基本认识过程，将推理分为两种：
1、似真推理 —— 由特殊到一般，这种推理也叫做归纳推理，这是创造性的逻辑推理。
“由特殊到特殊”或“由一般到一般”的推理，叫做类比推理。其认识过程仍包含于“由特殊到一般”这个基本认识过程之中，并且所推出的结论也是似真的，所以类比推理也是似真推理。
2、证明推理 —— 由一般到特殊的推理，叫做演绎推理，这是必然性的推理，我们把演绎推理也叫做证明推理。
我们把似真推理和证明推理，简言为“猜想和证明” ， 数学推理总是这样 “猜想——证明——再猜——再证”循环往复的进行的，直到问题解决或发现新问题，这就是数学推理的逻辑，由此凝聚了一个现代的解题思想——猜证结合思想。
二、数学归纳法概述
“数学归纳法”是证明与正整数有关的命题的一种方法，它的理论依据是数学归纳原理：
设 P（n）是关于正整数 n 的一个命题，如果：（1）P（1）真 ；（2）由P（k）为真的假设可推出 P（k +1）也为真，那么 P（n）对一切正整数 n 为真 。
数学归纳法是人们以有限把握无限，通过有限次操作证明无限集合的命题。它第一次提供了证明无限集合的命题的一种确切而严谨的教学方法，这个方法是完全归纳法。
数学归纳法证明命题 P（n）（n ∈ N, 且 n ≥ n0）成立的一般步骤
（1）证明P（n0）成立 ；
（2）假设 P（k）（k ∈ N, 且 k ≥ n0）成立 ，证明 P（k + 1）也成立 。
根据 （1）和 （2），可知 P（n）对一切正整数 n （n ≥n0）都成立 。
例题：求证：
例题图（1）
猜证：这是 P（n）命题，用数学归纳法证明 。
第一步：当 n = 1 时 ， 1 < 2 显然成立 ；
第二步：假设 当 n = k 时 （k > 1）
例题图（2）
则 当 n = k + 1 时 ，
例题图（3）
例题图（4）
因此数学归纳法失效！若还想用数学归纳法证明，就得变换命题，使不等式的右边与 n 有关 。
经过几次试验猜想，改证如下：
辅助不等式图（5）
证法一：先用数学归纳法证明上图中的辅助不等式：
（1）当 n = 2 时 ， 左边 = 1 + 1/（2^2）= 5/4 ，右边 = 2 - （1/2）= 3/2 ，
所以左边 < 右边 ， 上图中的辅助不等式成立 。
（2）假设 n = k （k ≥ 2）时
例题图（6）
则 当 n = k + 1 时
例题图（7）
即上图中的辅助不等式也成立。
由 （1）和 （2），可知上图中的辅助不等式成立 。
又因为 2 - 1/n < 2 , 且 当 n = 1 时原不等式为 1 < 2 显然成立，所以
例题图（8）
得证 。
注：P（n）命题不一定都必须用数学归纳法证明，给出证法二——列项相消放缩法！
证法二、列项相消放缩法
例题图（9）
注：（1）当数学归纳法失效时，可引进辅助命题，再用数学归纳法；
（2）本题不宜使用数学归纳法，用列项法最为简捷。
解题时注意依据问题的特点，选择最快最好的方法。
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