x分之sinx的不定积分，arcsinx的不定积分（不定积分∫dx/√2+sin）

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• 1、不定积分∫dx/√2+sin(x+1)+cos(x+1)的两种计算方法
• 2、x分之sinx的不定积分：arcsinx的不定积分

1、不定积分∫dx/√2+sin(x+1)+cos(x+1)的两种计算方法

主要内容：

本题通过三角函数恒等变形和三角函数换元法两种方法，介绍计算定积分∫dx/[√2+sin(x+1)+cos(x+1)]的方法和步骤,并可以观察出，同一个不定积分结果的表达式可以不唯一。

※.三角函数恒等变形法

I=∫dx/[√2+sin(x+1)+cos(x+1)]，

根据公式sin(x+π/4)=sinxcosπ/4+cosxsinπ/4变形为：

I==∫dx/{√2+√2[sin(x+1)cosπ/4+cos(x+1)sinπ/4]}

=∫dx/[√2+√2sin(x+1+π/4)]，以下提取公因数系数，

=(1/√2)∫dx/[1+sin(x+1+π/4)]，以下根据sin^2x+cosx^2=1变形为，

=(√2/2)∫dx/[sin(1/2)(x+1+π/4)+cos(1/2)(x+1+π/4)]^2,

=(√2/2)∫dx/{√2sin[(1/2)(x+1+π/4)+π/4]}^2

=(√2/4)∫dx/sin^2[(1/2)(x+1)+3π/8],以下根据公式cscx=1/sinx变形为，

=(√2/4)∫csc^2[(1/2)(x+1)+3π/8]dx，以下对微分微元dx进行变形，

=(√2/2)∫csc^2[(1/2)(x+1)+3π/8]d[(1/2)(x+1)]，

以下有积分公式∫csc^2xdx=-cotx+C变形得，

I =-(√2/2)cot[(1/2)(x+1)+3π/8]+C。

※.三角函数换元法

设tan(1/2)(x+1)=t，则x=(2arctant-1)，

同时由三角万能公式有：

sin(x+1)=2t/(1+t^2)，cos(x+1)=(1-t^2)/(1+t^2),

代入所求不定积分，则：

I=∫dx/√2+sin(x+1)+cos(x+1)，

=∫d[(2arctant-1)] /√2+2t/(1+t^2)+ (1-t^2)/(1+t^2)，

=2∫[1/(1+t^2) ]dt /{[√2(1+t^2)+2t+(1-t^2)]/ (1+t^2)},

=2∫dt /[√2(1+t^2)+2t+(1-t^2)],

以下对分母进行关于t的二次函数变形为，

I =2∫dt /[(√2-1)(t+√2+1)^2]

=2 (√2+1)∫dt /(t+√2+1)^2，

以下根据不定积分公式∫dx/x^2=-1/x+C计算得，

I =-2(√2+1)[1/(t+√2+1)]+C,

代入t =tan(1/2)(x+1)，即可计算出本题不定积分结果为，

I =-2(√2+1){1/[tan(1/2)(x+1)+√2+1)]}+C.

2、x分之sinx的不定积分：arcsinx的不定积分

具体回答如下：∫arcsinxdx=∫arcsinx（x）'dx=xarcsinx-∫xd(arcsinx)=xarcsinx-∫x/√(1-x^2)dx=xarcsinx+∫(1-x^2)'/√(1-x^2)dx=xarcsinx+∫1/√(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsinx+2√(1-x^2)+C不定积分的意义：一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

已赞过已踩过<你对这个回答的评价是？评论收起nksongjian2013-12-23·TA获得超过1162个赞知道大有可为答主回答量：2207采纳率：0%帮助的人：1589万我也去答题访问个人页关注展开全部分部积分法 S表示积分号Sarcsinxdx=xarcsins-Sxdarcsinx=xarcsins-Sx/根号下(1-x^2)dx=xarcsins+0.5S1/根号下(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsins+根号下(1-x^2)+C分部积分法 S表示积分号Sarcsinxdx=xarcsins-Sxdarcsinx=xarcsins-Sx/根号下(1-x^2)dx=xarcsins+0.5S1/根号下(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsins+根号下(1-x^2)+C

是这样的：

本文关键词：x×arcsinx的不定积分，x的平方乘以arcsinx的不定积分，arccosxarcsinx的不定积分，x乘arcsinx的不定积分，arcsinx的不定积分。这就是关于《x分之sinx的不定积分，arcsinx的不定积分（不定积分∫dx/√2+sin）》的所有内容，希望对您能有所帮助！

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