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什么是可逆矩阵，可逆矩阵是不是逆矩阵（如果一个矩阵A是可逆的）

百科 2026-02-05 10:07:57 投稿阅读：3202次

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　　1、矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

　　2、设是数域，若存在，使得，为单位阵，则称为可逆阵，为的逆矩阵，记为。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵。

先说一下逆矩阵的定义：

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB=BA=E，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵。其中E是与矩阵A和矩阵B同阶的单位矩阵。

我们知道A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0(行列式不等于0)。如果矩阵A满足|A|≠0这个条件，矩阵A一定是可逆的，并且它的可逆矩阵是唯一的，为什么是唯一的呢？

这个问题用反证法的思想证明是相对容易一些的。假设可逆矩阵A的逆矩阵不唯一，不妨设矩阵B和矩阵C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，AC=CA=E。于是有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C，(式1)

其中B(AC)=(BA)C是利用的矩阵乘法的结合律。

由式1可以看出B=C，即B和C是同一个矩阵，可见我们的假设是不成立的，所以可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的。

以上内容均为个人理解，如有错误，欢迎指正。

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