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- 1、无理数明明是无限长，为啥可以用有限长度来表达？
- 2、无理数都是无限小数对不对：无限小数都是无理数对吗
1、无理数明明是无限长，为啥可以用有限长度来表达？
我们都知道无理数是“无限不循环小数”，这里有两个关键：1无限，2不循环。所谓无限其实是指这个小数位数是无限个，比如0.1298735938......后面无限个小数位。所谓不循环其实是指后面无限个小数位不会出现重复同一个数字的情况，比如0.333333.....虽然也是无限个小数位，但是却一直重复3，所以这个也不叫无理数。而真正的无理数大家都接触过，比如圆周率π。但是有个非常奇怪的现象，那就是无理数虽然是无限位，但是却可以用有限的长度来表达，这是怎么回事呢？
首先我们如何去用有限的长度来表达无理数，很简单比如我们要表达根号2，那么只需要画出一个边长为1的正方形，然后把对角线连接起来，对角线的长度就是根号2，我们用对角线这个有限长度就完美的表达出了根号2这个无理数。
所以问题的关键在于为啥一个无限位的数，可以用一个有限长度的线段来表示？这是不是矛盾了？其实你仔细思考这个问题就会发现并不矛盾。因为我们说无理数有无限个小数位，请注意这里的无限指小数位的个数是无数个。但是我们可以用一个有限长度的线段来表示无理数，这里的有限指的是线段的长度。所以核心点在于，第一句话的无限是指小数位个数，第二句话的有限指线段长度，这两句话描述的对象压根是两个不同的事物。也就是说除非你能把“小数位个数”等同于“线段长度”，否则你不能说这两句话矛盾了。
其实关于无理数是否是数，历史上有段时间争议非常大，因为无理数本身具有一个特性“无限不循环”，无限这个特性还好不难理解，但是“不循环”这个特性就不方便理解了，因为你怎么知道他不循环呢？有人可能会说我用最紧密的计算机计算了圆周率后面1000位，发现的确没循环。但是请注意无理数是无限个，你就算证明了1000位没循环，你能证明后面就一定不会出现循环。所以当时无理数到底是否是一个数存在巨大争议。
不过结束这个争议也很简单，我们判断一个数到底是不是数，有一个最方便的标准：看这个数能否在数轴上表示出来。因为我们知道数轴上面包含了所有的数，所以我们只要证明无理数的确可以在数轴上表示出来就够了，或者换一种说法：我们只需把无理数可视化即可。
如何可视化呢？其实刚刚已经揭晓答案了，直接把一个边长为1的正方向，将其对角线连接起来，对角线长度就是根号2，那么我们从数轴的0点开始把这个长度放到数轴上，根号2这个无理数不就被表达出来了。所以无理数可视化恰好证明无理数的确是一个数。
2、无理数都是无限小数对不对：无限小数都是无理数对吗
无限小数都是无理数，这个说法是错误的，正确的是无理数是无限小数。无理数指的是无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率(或分数)构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度。可以看出，无理数在位置数字系统中表示不会终止，也不会重复。无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。无理数是希伯索斯所创。公元前五百年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。
是指经计算化为小数后，小数部分无穷尽，不能整除的数。无限小数又分无限循环小数与无限不循环小数两类。无限循环小数从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数。
如2.1666…、35.232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。无限不循环小数有些小数虽然也是无限的但不循环。
2.12459537621……，这样的小数就被称为无理数。无理数不像循环小数每个数字是重复的，但也属于无限小数。主要有正整数、自然数、整数、实数、复数。另外向量、张量、矩阵、群也是数的一种。
为区别起见，人们把实数和复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等称为广义数。根据我国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”。直到今天，我们中国人还常用“正”字来记数。
当然，这个“正”字还包含着“逢五进一”的意思。
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