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可相似对角化的条件,矩阵相似对角化的条件(线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结)

百科 2025-10-18 06:41:57 投稿 阅读:5087次

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  • 1、线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结
  • 2、可相似对角化的条件:矩阵相似对角化的条件

1、线性代数之实对称矩阵得相似对角化问题的方法总结

对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一个正交矩阵来相似对角化,这里的正交矩阵是矩阵的彼此正交且为单位向量的特征向量组成的,这里的对角矩阵是矩阵的特征值组成的。

实对称矩阵:元素都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵。

实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化:

(1)实对称矩阵的特征值全部是实数;

(2)实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交化;

(3)实对称矩阵必相似于对角矩阵。

求实对称矩阵矩阵正交相似于对角矩阵的步骤:

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求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤

题型一:实对称矩阵的正交相似对角矩阵

例1:

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解题思路:(1)非齐次线性方程组有无穷多个解的充要条件为矩阵A的秩等于增广矩阵的秩且小于3.

(2)利用求实对称矩阵相似对角矩阵的方法求解

解:

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题型二:相似对角矩阵的应用

例2:设A是n阶矩阵,有特征值1,2,3,....,n,求|3E+A|

分析:可以利用特征值和行列式的性质的计算。

解:

2、可相似对角化的条件:矩阵相似对角化的条件

相似对角化是线性代数中最重要的知识点之一。如果一个方阵A相似于对角矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵P使得P-1AP是对角矩阵,则A就被称为可以相似对角化的。相似对角化的条件是:n阶方阵存在n个线性无关的特征向量;如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵;如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。相似对角化意思是取对角化矩阵的时候,在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时,该对角矩阵即与原矩阵相似。相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的。设M为元素取自交换体K中的n阶方阵,将M对角化,就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P,使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态,将M对角化,就是确定Kn的一个基,使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。

因为对角矩阵形式简单,它的行列式就是对角线元素的乘积,它的对角线元素就是它的特征值(换言之,矩阵的特征值的累乘就是矩阵的行列式)。矩阵的相似不变量有:行列式、特征多项式、特征值、迹、最小多项式、行列式因子、不变因子、初等因子等。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵,将M对角化,就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P,使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态,将M对角化,就是确定Kn的一个基,使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵,即,已知一个n×n矩阵 ,如果对于 ,则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ,使 的结果为对角矩阵,则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可被对角化。

对角矩阵是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵;对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。

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