反正切函数的导数，arctanx的导数是什么（求y=arctan的导数计算）

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• 1、求y=arctan「x+1/(x-2)」的导数计算
• 2、反正切函数的导数：arctanx的导数是什么

1、求y=arctan「x+1/(x-2)」的导数计算

求y=arctan[x+1/(x-2)]的导数计算

主要内容：

本文通过复合函数求导、反函数求导等方法，介绍计算y=arctan[x+1/(x-2)]导数的主要过程。

主要步骤：

※.直接求导法

解：对于反正切函数y=arctanx，其导数为y=1/(1+x^2)，

本题是正切函数的复合函数，其求导过程如下：

dy/dx=[x+1/(x-2)]'/{1+[x+1/(x-2)]^2}

=[1-1/(x-2)^2]*(x-2)^2/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2},

※.反函数求导法

反函数的求导公式为：[f^(-1)(x)]'=1/f'(y)。

对于本题，函数y=arctan[x+1/(x-2)]的反函数为：

tany=x+1/(x-2)，

此时有：y'=1/(tan'y)=1/(secy)^2=1/[1+(tany)^2],

由tany=1x+1/(x-2)两边平方有：

(tany)^2=[x+1/(x-2)]^2，即：

(tany)^2=[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2,

进一步代入导数中并化简可有：

y'=1/{1+[x(x-2)+1]^2/(x-2)^2}*[x+1/(x-2)]'

=(x-2)^2/{[x(x-2)+1]^2+(x-2)^2]}*[1-1/(x-2)^2]

=[(x-2)^2-1]/{(x-2)^2+[x(x-2)+1]^2}。

2、反正切函数的导数：arctanx的导数是什么

1/1+x²

arctanx的导数是1/1+x²，设y=arctanx,则x=tany，因为arctanx′=1／tany′，且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y，则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

arctanx（即Arctangent）指反正切函数。反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）。

反正切函数arctanx的导数

(arctanx)'=1/(1+x^2)

函数y=tanx,（x不等于kπ+π/2,k∈Z）的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为（-π/2,π/2）。反正切函数是反三角函数的一种。

反正切函数arctanx的求导过程

设y=arctanx

则x=tany

因为arctanx′=1／tany′

且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

所以arctanx的导数是1/1+x²。

其他常用公式

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)

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