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关于【排列与组合的定义和公式】，用例子理解排列组合及基本公式如何计算，今天小编给您分享一下，如果对您有所帮助别忘了关注本站哦。
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- 1、小学四年级数学思维拓展：排列组合之排列一
- 2、排列与组合的定义和公式：用例子理解排列组合及基本公式如何计算
1、小学四年级数学思维拓展：排列组合之排列一
在实际生活中，我们常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，这就是排列问题。在排列的过程中，不 仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关。
为了给出排列问题的一般解法，我们给出排列的定义及计数公式。 一般的，从 n 个不同的元素中，每次任取出 m 个（m≤n）不同的元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同的元素中任取出 m 个元素的一个 排列，简称 m 元排列。
排列的基本问题是计算排列的总个数，就是所谓的“排列数”。
按照排列的定义，做一个 m 元的排列由 m 个步骤完成：
第一步：从 n 个不同元素中任取一个元素排在第一位，有 n 种方法；
第二步：从剩下的 n - 1 个元素中任取一个元素排在第二位，有 n - 1 种方法；
……
第 m 步：从剩下的 n -（m - 1）个元素中任取一个元素排在第 m 个位 置，有 n - m + 1 种方法。
根据乘法原理，利用给定的 n 个不同元素做 m 个不同元素的排列的 方法数是：
n ×（n - 1）×（n - 2）×（n - 3）× … ×（n - m + 1）。
实例
用 4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的四位数？
思路解析
这个问题是四个元素的全排列。 所以，根据排列数公式，可以得出四位数的个数是：
4 × 3 × 2 × 1 = 24。
这 24 个四位数是：
4567，4576，4657，4675，4756，4765；
5467，5476，5674，5647，5764，5746；
6457，6475，6547，6574，6745，6754；
7456，7465，7546，7564，7645，7654。
答：用 4、5、6、7 可以组成 24 个没有重复数字的四位数。
拓展练习一
用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成多少个没有重复数字的四位数？
答案提示
这是一个从 7 个元素中取 4 个元素的排列问题，可以知 道 n = 7，m = 4。
由排列数公式，共可组成： 7 × 6 × 5 × 4 = 840（个）。
答：用 1、2、3、4、5、6、7 可以组成 840 个没有重复数字的四位数。
拓展练习二
有 5 本不同的书，7 名同学去借，每人最多借一本，书全部 借出去，一共有多少种不同的借法？
答案提示
把 5 本书借给 7 名同学，可以理解为把 5 个元素放在 7 个不同位置的排列问题 ，可以知道：
n = 7，m = 5。
由排列数公式，共可有 7 × 6 × 5 × 4 × 3 = 2520（种）不同的借法。
拓展练习三
（1）幼儿园里有 6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子（每人只 能坐一把），有多少种不同的坐法？ （2）幼儿园有 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子（每人只能坐一 把），有多少种不同的坐法？
答案提示
（1）6 名小朋友去坐 3 把不同的椅子，可以理解为把 3 把 不同的椅子分给 6 个小朋友的排列问题，可以知道 n = 6，m = 3。由排列 数公式，共有 6 × 5 × 4 = 120（种）不同的坐法。
（2）3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子，可以理解为把 3 名小朋友分给 6 把不同的椅子的排列问题，可以知道 n = 6，m = 3。由排列数公式，共有 6 × 5 × 4 = 120（种）不同的坐法。
2、排列与组合的定义和公式：用例子理解排列组合及基本公式如何计算
很多人觉得排列组合公式很难，小编把这些例子公式发上来与大家分享，希望能帮助到你。
排列及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1)。
用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。从6种颜色中取出4种进行排列呢。
解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。
A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。
A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。
组合及计算公式
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m)。
用具体的例子来理解上面的定义：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。
其他排列与组合公式
从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)。
n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为
n!/(n1!*n2!*...*nk!)。
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m)。
用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。
解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[(4x3x2x1)/2]/2=6。
排列Pnm
排列(Pnm(n为下标，m为上标))。
Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n
组合(Cnm(n为下标，m为上标))
Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘。
如 ：9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个，表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
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