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- 1、2018年高考数学压轴突破140 解密探究函数值域的九大方法
- 2、反函数与原函数的关系是什么
1、2018年高考数学压轴突破140 解密探究函数值域的九大方法
2018年高考数学压轴突破140 解密探究函数值域的九大方法
【高考地位】
函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.
【方法点评】
方法一 观察法
解题模板：第一步 观察函数中的特殊函数；
第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
方法二 分离常数法
方法三 配方法
方法四 反函数法
解题模板：第一步 求已知函数的反函数；
第二步 求反函数的定义域；
第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域
方法五 换元法
解题模板：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
方法六 判别式法
方法七 基本不等式法
方法八 单调性法
解题模板：第一步 确定函数的定义域；
第二步 求出函数的单调区间；
第三步 确定函数的值域或最值.
【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.
方法九 数形结合法
解题模板：第一步 作出函数在定义域范围内的图像；
第二步 利用函数的图像求出函数的值域.
例9 如图，A,B,C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)（单位：千米）.甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t=t1时乙到达C地.
（1）求t1与f(t1)的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1≤t≤1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在[t1,1]上得最大值是否超过3？说明理由.
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.
【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集.
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2、反函数与原函数的关系是什么
反函数与原函数的关系：反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域；函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原函数也是其反函数的反函数，故函数的原函数与反函数互称为反函数；偶函数必无反函数；奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数；原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同；他们的图像是关于y=x对称的。
一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。
原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x)，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例如：sinx是cosx的原函数。
反函数与原函数关系：
1、函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原函数也是其反函数的反函数，故函数的原函数与反函数互称为反函数。
2、反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域。
3、只有确定函数的映射是一一映射的函数才存在反函数，由此得出下面4点：
（1）偶函数必无反函数。
（2）单调函数必有反函数。
（3）奇函数如果有反函数，其反函数也是奇函数。
（4）原函数与其反函数在他们各自的定义域上单调性相同。
4、互为反函数的图象间的关系。
函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，关于这一关系的理解要注意以下三点：
（1）函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，这个结论是在坐标系中横坐标轴为x轴，纵坐标轴为y轴，而且横坐标轴与纵坐标轴的单位长度一致的前提下得出的；
（2）（a,b）在y=f(x)的图象上＜＝＞（b,a）在y=f-1(x)的图象上；
（3）若y＝f(x)存在反函数y=f-1(x)，则函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称的充分必要条件为f(x)＝f-1(x)，即原、反函数的解析式相同。
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