实数集是什么，实数集包括什么（从“圈圈图”看交集与并集）

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• 1、从“圈圈图”看交集与并集
• 2、实数集是什么

1、从“圈圈图”看交集与并集

同学们好，我是李状元数学课的李老师，讲人人都听得懂的高中数学课。

上节课我们用高考后的表白的例子说了一下什么是集合和元素，集合的三个特性，大家还记得吗？

集合有确定性、互异性、无序性三个特性。

今天我们继续往下看集合的知识。

我们说集合里的元素是确定的，那么想一想，一个集合可能有多少个元素呢？

答案是从0到正无穷都有可能。如果一个集合里没有元素，我们把它叫做“空集”。

又比如，所有的正整数可以组成一个集合，这个正整数集的元素个数就有无穷多个。类似地，自然数集、有理数集、实数集这些集合，元素也都有无穷多个。

上节课我们说了，你和你的同班同学其实也可以作为元素组成一个集合，集合里的元素是包罗万象的，但是我们数学里研究得最多的，还是数集和点集两种，意思就是集合的元素是数或者点。

一个元素在不在一个集合里，或者说元素a属于还是不属于集合A，我们用一个专门的符号来表示。这就是元素和集合之间的关系。我们可以根据一个集合的定义，判断某个元素是否属于这个集合。

举个例子，0这个数属于正整数集吗？很容易判断出来，不属于，0不是正整数。

上面是说元素和集合的关系，还有一个就是我们要判断集合与集合之间的关系。

比如一个集合A是你们学校的高三一班，元素是高三一班里的所有同学；集合B是高三年级，元素是高三年级的所有同学。那么我们会发现，这两个集合有包含的关系。就是集合B比集合A要大，集合A里的所有元素都在集合B里。因为一个同学只要是高三一班的，他当然就是高三年级的。

这种情况下，我们就说集合B包含集合A，或者说集合A包含于集合B。还有一种表述，集合A是集合B的子集。

要注意区分一下刚才说到的两个概念，就是属于和包含的区别。属于是说元素和集合的关系，包含是说集合和另一个集合的关系。

除了包含，两个集合还能有什么关系呢，大家思考一下？

思考的时候我们可以像上节课一样，画两个圈，分别代表集合A和B。那么画一画这两个圈，看看有哪几种位置关系，我们就知道两个集合可以有哪几种关系了。这种圈圈图其实有专门的名字，叫做Venn图。

比如刚才说的包含，就是一个大的圈包住了一个小的圈。

如果两个圈相互分离，没有重叠的部分，也就是没有任何公共的元素，这也是一种关系。

还有就是两个圈可能有一部分重叠。就是有一些元素既属于集合A又属于集合B，但集合A和集合B还各自有一部分独有的元素。

在这种情况下，我们就把这个圈的交叉部分定义为一个新的集合，叫做A与B的交集，写成“A∩B”。注意了，“A∩B”是一个集合，其中的元素就是集合A与集合B的公共元素。

除此之外我们还定义一个另一个新的集合，就是一个元素不管属于集合A还是属于集合B，我们都放到这个新的集合里，那么这个集合就叫做A与B的并集，写成“A∪B”。

好了，今天我们讲了元素和集合之间的关系，也就是属于或者不属于的关系。

还有集合和集合之间的关系，有一种是包含的关系。

更重要的是，集合的交集与并集：

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集；

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。

同学们明白了吗？下课！

2、实数集是什么

实数集是什么?

实数集包含所有有理数和无理数的集合。比如整数集和负数集。

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。简介(1)任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

(2)设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x

实数集指的是什么

通俗地认为，包含所有有理数和无理数的集合就是实数集。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

但当时的实数集并没有精确的定义。

直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的：1、加法公理：1.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R；1.2加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）；1.3加法有交换律，a+b=b+a；1.4加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。2、乘法公理：2.1对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；2.3乘法有交换律，a·b=b·a；2.4乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；2.5乘法对加法有分配率，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。3、序公理：3.1任何x、y属于R，xy中有且只有一个成立；3.2若x0，则x·z

4、完备公理：有两种常见说法，是等价的：(1)任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。(2)设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x

什么是实数集

实数集通俗地说是指包含所有有理数和无理数的集合就是实数集，通常用大写字母R表示。1.实数集合R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性。

即任意两个实数的和、差、积、商(不为零)仍为实数。

实数集合是有序的，也就是说，任何两个实数a、b必然满足下列三种关系之一：ab。2.微积分学是以实数为基础的。但是，当时的实数还没有精确的定义。在1871年之前，德国数学家康托尔第一次对实数提出严格的定义。

任一一集(包括R)非空上界必有上界。

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