内心是什么的交点，三角形的外心和内心是什么（初中数学竞赛中的“五心”——外心、内心、重心、垂心、旁心）

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• 1、初中数学竞赛中的“五心”——外心、内心、重心、垂心、旁心！
• 2、三角形的外心和内心是什么
• 3、三角形内心
• 4、三角形的内心是什么的交点

1、初中数学竞赛中的“五心”——外心、内心、重心、垂心、旁心！

初中竞赛或者选拔性的考试中经常会出现“五心”考察:

外心，内心，重心，垂心，旁心合称“三角形五心”！

外心是指三角形外接圆圆心，是三角形三条垂直平分线交点！

内心，是指三角形内切圆圆心，根据切线性质定理可知OD=OF=OE！O是三角形三条角平分线交点！

重心是三角形三条中线交点！

三角形垂心是三角形三条高线的交点！

旁心是是指三角形外角平分线交点！

对于旁心的解释也可以从圆的切线描述！

2、三角形的外心和内心是什么

内容如下：一、三角形的外心定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。

2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。

3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。4.OA=OB=OC=R。5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA。6.S△ABC=abc/4R。

二、三角形的内心定义：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3.r=2S/(a+b+c)。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2。

6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)。

3、三角形内心

是三角形内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点，作图时只需画2条角平分线。三角形内心：指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。

这个点也是这个三角形内切圆的圆心。

三角形内心到三角形三条边的距离相等。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。内心性质设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/21、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。2、∠BIC=90°+∠BAC/2。

3、在RtΔABC中，∠A=90°，三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD。4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

4、三角形的内心是什么的交点

三角形的内心是三角形内切圆的圆心，也就是三角形三个角地平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。内心是三角形角角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。三角形是几何图案的基本图形。

不等边三角形；不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

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