高中数学微积分解析，定积分及其应用

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1、基本积分表

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

2、运算公式

（1）

（2）

（3）

3、

例1、若曲线

在x处的导数为

且曲线经过点A（1，3），求

解析式。

解：

，过A ∴

∴

例2、求下列不定积分。

（1）

（2）

例3、求下列定积分

（1）

（2）

∵

∴

例4、

，

为何值时，M最小。

解：

∴

时，

例5、已知

，

，试求

的取值范围。

解：

即

设

∴

为方程

两根

∴

或

∴

例6、求抛物线

与直线

所围成的图形的面积。

解：由

∴ A（1，－1）B（9，3）

例7、求由抛物线

，

所围成图形的面积。

解：

例8、由抛物线

及其在点A（0，－3），B（3，0）处两切线所围成图形的面积。

解：

，

∴ P（

）

例9、曲线C：

，点

，求过P的切线

与C围成的图形的面积。

解：设切点

，则

切线：

过P（

）

∴

∴

A（0，1）

∵

∴

∴

B（

）

∴

例10、抛物线

在第一象限内与直线

相切。此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S。求使S达到最大值的a，b值，并求

。

解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为

，所以

（1）

又直线

与抛物线相切，即它们有唯一的公共点

由方程组

得

，其判别式必须为0，即

于是

，代入（1）式得：

令

；在

时得唯一驻点

，且当

时，

；当

时，

。故在时，

取得极大值，也是最大值，即

时，S取得最大值，且

--END--

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